1202年

斐波纳契或称比萨大公（1170—1240）出版了《算经》（Liber Abaci）一书。该书最近由劳伦斯E.西格勒翻译成《斐波纳契的算经：比萨大公算经的现代英译本》（Fibonacci's Liber Abaci：A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation）（Springer-Verlag，2002年）。

1478年

未知名的作者 出版了《翠维索算术》（The Treviso Arithmetic）一书。该书由戴维·尤金·史密斯翻译成英文，见弗兰克J.施维茨所编著的《资本主义与算术：15世纪的新数学，包括1478年〈翠维索算术〉全 文 》 （Capitalism and Arithmetic：The New Math of the 15th Century Including the Full Text of the Treviso Arithmetic of 1478）（LaSalle，IL：Open Court，1987年）。

1761年

埃德蒙·哈雷（1656年11月8日—1742年1月14日）所著的《论复利》（Of Compound Interest）在哈雷逝世后出版。见亨利·舍温编著的《舍温算表》（Sherwin's Mathematical Tables）（W.and J.Mount，T.Page and Son，1761年）。

斐波纳契数列、现值、合伙制、永续年金、资本预算

斐波纳契（1202）因为将阿拉伯数学符号引入欧洲而闻名于世。阿拉伯数字最早可能于公元后第一个千年的中期形成于印度，其后逐渐被阿拉伯商人和学者所学习。斐波纳契在北非的旅行中学到了阿拉伯数字。在书中的第一章，他是这样开篇的：

如下是印度人使用的九个数字：9，8，7，6，5，4，3，2，1。用这九个数字，再加上0这个符号，任何数字都既能被书写也能被示范。

在这本小册子出版后，用笔墨计算的阿拉伯数字取代了算盘的地位。这本书也提出了著名的斐波纳契数列，1，1，2，3，5，8，13，…

《算经》这本书在现值计算发展中的作用却没有得到足够的重视，直到最近才被威廉N.戈茨曼发现

^[1]。斐波纳契通过几个数学例子来说明他的计算方法。其中对投资学有四个方面的应用：①在合伙人成员 中进行公平的利润分配 ^[2]；②序列投资的利润计算，其中包括中间撤出投资 ^[3]；③终值的计算 ^[4]；④现值的计算 ^[5]。他对问题①的解答很简单：将利润按照投入资本的比例来分配，这个答案在今天看来是显而易见的。关于问题③的举例，西格勒是这样翻译的：

有个人在一家银行存入100英镑，每英镑每个月能获得4便士的利息。他每年取出30英镑。那么他需要花多少时间才能把钱全部取出来？（p.384）

斐波纳契的计算结果是，那个人的钱在银行的时间是6年零8天零（1/2）（3/9）5个小时。上述表达式是斐波纳契所使用的符号，按照今天的表示方法每一部分的分母应等于该分母与所有右边分母的乘积，如1/2实际上表示的是（1/2×1/9）而小时数就是所有部分的加总和。因此，按照现代的符号表示的小时数等于5小时+（3/9）小时+（1/18）小时= 小时。值得注意的是，尽管斐波纳契的符号已经被废弃，但当度量小数量单位时还是很有用的。例如，斐波纳契将会这样来表示5周零3天零4小时零12分零35秒：

（35/60）（12/60）（4/24）（3/7）5。

在问题④中，斐波纳契通过对两只年金现值进行排名的方式演示了现值的使用。两只年金的区别仅在于获得报酬的周期不同，利息再投资的利率都是每个季度2%：两只年金每年都各支付300个金币，不同在于其中一只年金每季度支付75个金币，而另外一只年金则在每年年末支付300个金币。

由于复利的存在，固定利率下的现值是几何序列的加权求和。戈茨曼推测，斐波纳契的利息概念可能为他提出著名的无穷级数概念提供灵感。不幸的是，我们对斐波纳契知之甚少，这样的猜测还不能被证 实。

在斐波纳契之后，阿拉伯数字在欧洲得到广泛的使用，尤其是用于商业目的。一位不知名的作者所著的《翠维索算术》（1478）是迄今已知的最早的算术书，它试图普及阿拉伯数字系统。该书在开篇描述了如何使用阿拉伯数字来计数、加、减、乘、除——这与今天使用的程序是一样的。在那个时期，数字刚刚演化成现代所使用的形式。例如，用 表示零的方式在1275年后销声匿迹。其中部分原因可能要归因于《翠维索算术》，因为印刷技术可能迫使书写标准化。不过，加、减、乘、除等符号要到很晚才被引

入。“＋”和“－”出现在1489年，“×”出现在1631年，“÷”出现在1659年。既然谈到这个问题，我们就展开一下。“√”出现在1525年，“=”出现在1557年，“＜”和“＞”出现在1631年，“∫”出现在1675年（由戈特弗里德·威廉·莱布尼兹发明），“f（x）”出现在1735年（由列昂哈德·欧拉发明），“dx/dy”于1797年由约瑟夫-路易斯·

拉格朗日提出。用小数表示分数直至1585年才出现。用字母表示等式中的未知数直到1580年左右才在弗兰克斯·韦达（1540—1603）的公式中出现。约翰·纳皮尔于1614年发明了对数，并在1617年将小数符号引入欧洲。

这些数学运算是通过一些事例来演示的。合伙制可以追溯到公元前2000年的巴比伦王国。这种商业组织形式为长期需要大笔资金的投资提供了一种融资方式。在信奉基督教的欧洲，禁止放高利贷收取利息， 合伙制则提供了一种迂回的方式。《翠维索算术》这本书中（p.138）提出的第一个合伙制问题是这样的：

有三个商人共同搭伙投资。第一个人名叫皮耶罗，第二个人名叫保罗，第三个人名叫朱安妮。皮耶罗投入112个杜卡托，保罗投入200个杜卡托，朱安妮投入142个杜卡托。过了一段时间，他们发现已经赚了563个杜卡托。问每个人应分多少个杜卡托才是公平的。

建议的答案是：根据他们各自的投资额按照比例来分配利润。这个原则与斐波纳契在《论公司》提出的原则一样。第二个合伙制问题更有趣（p.138）：

有两个商人，分别叫做桑巴斯提亚诺和贾科莫，他们合伙投资来赚钱。桑巴斯提亚诺在1472年1月1日投入了350个杜卡托，贾科莫在1472年7月1日投入了500个杜卡托和14个格罗西。到了1474年1月1日，他们发现已经赚到了622个杜卡托。问每个人分多少？

首先将每个人的投资转换为同一计量单位，即桑巴斯提亚诺投入8400个格罗西，贾科莫投入12014个格罗西。《翠维索算术》这本书通过两人各自的投资月数来调整投资时点的差异：桑巴斯提亚诺：8400×24=201600贾科莫：12014×18=216252

而后根据各自所占的比例来分配。两数之和是201600+216252=417852。因此，桑巴斯提亚诺获得

622×（201600/417852）=300杜卡托，贾科莫获得622×（216252/417852）=322个杜卡托。

现代的分析师要解决这个分配问题需要区分两种情况：贾科莫的滞后投资是事先约定好的呢，还是在临近投资时才决定的。在第一种情况下，他应当知道利率才能计算出公平的分配利润；在第二种情况下， 他应当知道1472年7月1日那天合伙体中每股的价值。尽管《翠维索算术》的作者提出了一个有趣的问题， 并且可能从斐波纳契那儿学了不少东西，但是他的答案表明他并没有理解斐波纳契复杂的现值分析。

到了16世纪，尽管高利贷在法律上受到限制，但斐波纳契有关现值的著作仍得到了更好的认知。例

如，吉恩·川辰特于1637年 ^[6]提出了这么一个问题：一只永续年金每季度支付4%的利息，而另外一只定期年金每季度支付5%的利息共计41个季度，问哪只年金的现值最高？川辰特是这样解决这个问题的：首先计算每季度1%的年金在第41个季度的终值，接着计算从第41季度开始每季度支付5% ^[7]的永续年金在第41季度的现值，将两个数字比较后就能知道哪只年金的现值最高。在川辰特的书中还包含了第一张现值折现因子

表。

在没有计算机的远古年代，要判断利率对合约的影响，那么一定要在快速计算方法上花大工夫。这包括使用对数、算表以及现值问题的现成答案。埃德蒙·哈雷通过望远镜观察对南半球的星体进行了编撰归类，发明了第一张气象分析表，出版了早期的人口死亡率表，当然最著名的是他首先计算出彗星的轨道。他在金融经济学方面的贡献也颇为称道。哈雷（1761）推演出年金现值公式（可能并不是最先推演出

的）：［X/（r-1）］［1-（1/r ^T）］，这个年金开始于第一年年末，持续期是T年。r表示1加上年利率，X

表示从年金中每年获得的现金额。对这个公式相对较早的另一个推演版本可以在费雪的作品中找到

（1906）。

尽管用现值来估值出现的比较早，但最先提出任何资本项目都应当使用现值来评估的思想可能要归属费雪（1907）。使用套利的思想，他对项目现金流与证券投资组合现金流进行了比较，其中证券投资组合现金流是与项目相匹配的。不过，根据福尔哈伯和鲍莫尔（1988）的说法，无论是《哈佛商业评论》从1922年创刊到第二次世界大战，还是1948年前使用的公司财务方面的教材都没有在资本预算中提到过现

值。直到约尔·迪安（1951）的著作出版 ^[8]之后，现值的使用才广为流行。最近，根据约翰R.格雷厄姆和坎贝尔·哈维（2001）的研究 ^[9]，大多数大型企业在资本预算决策中都使用一些形式的现值计算。